1 引言

第三方仓库是一个庞大的产业, 本文关心的是其中近年来迅猛发展的公共存储仓库行业。公共存储仓库大多采用自助存储的运作模式, 在美国已经足够成熟。自存储协会 (SAA) 2012年的行业报告显示, 美国境内49, 940个自存储基础设施在2011年的总收入为224.5亿美元, 83.9%的县至少拥有一个自存储基础设施, 10%的家庭都正在租用这些设施中的存储单元[1]。在欧洲, 经过近些年的发展, 自存储行业也日趋成熟[2]。与欧美相比, 亚洲的自存储行业虽起步较晚, 但正处于高速发展的阶段, 目前主要集中在日本、新加坡和香港等发达国家和地区。我国少数一线城市近两年也开始出现了一些私人仓库公司, 像上海的Love Box私人仓库、好易仓、U-store, 北京的D2个人仓库, 深圳的好管家迷你仓, 等等。

劳动力成本是传统仓库主要的成本来源[3], 但采取自助存储运营模式的第三方仓库却不需要过多的劳动力, 因为顾客可以自主办理存储业务。因此, 自助存储仓库的成本低而稳定, 可被优化的空间很小。自存储仓库运营者通过租用不同类型的存储单元给客户来获取收益, 以收益最大化为目标。一个典型的自存储仓库有不同尺寸和质量的存储类型。一位客户可以一个月或者多个月租用适当大小的存储单元。然而, 现有的存储类型的设计或存储单元数量的设计可能不匹配市场细分需求。因此, 提供一个合适的设计方法至关重要。

模型设计不仅要以目标为导向, 而且要充分考虑到条件约束, 本文考虑的主要约束是顾客服务质量水平。顾客的忠诚度源于对服务的满意, 而服务质量是其前提和基础, 因此保证良好的服务质量是服务业提高竞争力的关键[4]。服务质量描述了一个产品或服务满足消费者需求的能力, 在本文体现在拒绝率上, 即当客户请求租用的存储类型被占满后, 该顾客会被拒绝的概率。保证良好的服务质量就是让顾客被拒绝的概率缩小到一定的范围, 拒绝率越低, 服务质量越高, 顾客的满意度也就越高。本文综合考虑运作管理和客户服务层次的问题, 即在高需求环境下, 确定合适的存储类型和每种类型的单元数量以适应市场细分。大多数现有的设施设计方法以成本最小化为目标, 但是采用自存储运营的第三方仓库主要提供租用服务, 其设计则以提高收益为目标。本文的主要贡献是考虑服务质量约束, 进一步完善以提高收益为目标的第三方仓库设计理论。

与本文研究相关的设施规划与设计是一门较大的学科, 它在现代商业中起到了重要作用。Tompkins[5]认为, 设计规划的设施必须有助于企业组织实现供应链的最优化。关于传统制造性仓库设计的研究大多专注于成本控制, 例如, Rao等[6]认为仓库设计的重点是优化仓库尺寸, 并在随机需求的情况下租用临时仓库。一些学者考虑新型仓库的设计问题, 如自动化立体仓库和电子商务配送中心, 通过优化内部的存储路径和拣选来降低仓库运作成本[7,8]。Zhang Xiaodong等[9]采用调度计划方法, 在确定性需求的情况下考虑市场细分, 建立了第三方仓库的排序运作管理。有少量文献通过成本最小化的方法来简单地实现第三方仓库的利润最大化, 也有很小部分的文献在设计模型时, 考虑到利益最大化。在不考虑市场细分的前提下, 利益最大化在对偶理论中可以简化为成本最小化。但是, 收益管理研究是必须考虑市场细分的。目前, 在设施设计研究领域, 除了Gong Yeming[10], 还没有在随机需求环境下, 考虑市场细分且基于收益管理的其他文献。

收益管理诞生于1978年的美国航空管制取消行动[11]。现在, 收益管理技术已被广泛应用于许多行业, 尤其是航空管理和酒店经营领域。McGill和Van Ryzin[12]对交通领域的收益管理文献进行了全面的综述, Chiang等[13]讨论了收益管理现有的研究问题以及将来的研究方向。虽然收益管理的相关文献非常多, 但始终没有涉及到仓库研究。相比之下, 仓库收益管理更接近于酒店经营管理。酒店收益管理研究为来自不同细分市场且具有随机需求特征的客户租用不同类型的客房提供优化策略, 从而使得酒店的收益达到最大化。Bitran和Mondschein[14]使用动态规划技术解决了这类问题。此外, 在航空收益管理中, Kjeldsen[15]运用动态规划算法解决了不同顾客需求及策略下的飞机座位管理问题。本文主要利用收益管理技术解决第三方仓库的价格与设计优化问题。

服务质量是设施设计完善的前提和保证, 它直接影响顾客忠诚度。在服务行业, 争取一个新顾客的成本通常是保留一个老顾客成本的5~6倍[16]。当顾客体验的服务过程高于期望水平时, 就会认可服务质量, 文献中通常用客户满意度来评价一项具体的服务[17]。Elliott[18]通过收入管理的方法来充分节约成本以实现收益最大化, 从而维持服务质量。在一个服务设施中, 顾客可能面临多重选择, 因此会出现多个细分市场。在考虑消费者行为因素的条件下, 一些学者研究了如何确定最优细分市场和数目的模型和方法[19,20]。还有一些学者利用排队系统研究服务设施的服务质量问题, 如Bertsimas和Paschalidis[21]在G/G/I和M/M/1排队系统里, 利用渐近性质找到了服务质量的概率约束。文献中有许多关于服务质量问题的解决算法, 例如启发式算法, 动态规划等。Bertsimas和De Boer[22]结合随机梯度算法和近似动态规划解决了航空服务中超量预订的问题, 以提高服务质量。本文考虑的服务约束体现在允许顾客被拒绝的概率阈值上, 它是由决策者自行设定的。

2 模型

2.1 问题引入

假设一个第三方仓库有n种不同面积的存储类型, 仓库总面积为C。类型i (1≤i≤n) 的一个存储单元的面积为ci, 在单位时间 (通常为月) 里获得的收益为ri。i型顾客请求租用类型i的存储单元, 且根据相互独立的泊松过程到达, 到达率为λi。

在高需求的环境下, 当i型顾客抵达仓库后发现所有的i型存储单元都被占据了, 其会选择离开, 即被拒绝。假设i型存储单元的租用时间是独立同分布的, 期望平均租用时间为Si。引进决策变量xi∈Z+来表示存储类型i的单元数目。于是, 基本决策问题就是:在考虑服务约束的情况下, 对于每种存储类型i, 应设计多少个 (xi) 存储单元, 才能使仓库的总目标收益最大?

2.2 服务约束

对于到达的i型顾客, 当其请求租用的存储类型被占满后, 就会立即被拒绝, 这个拒绝概率Pir (1≤i≤n) 是本文对服务质量的测度。Pir越低, 即客户被拒绝的概率越低, 服务质量就高。在高需求的情况下, Pir≥0, 但是拒绝概率不能超过一个上限σi, 即Pir≤σi。参数σi就是服务水平系数, 它由决策者设定。

在高需求环境下, 对于每一类存储类型i, 都可以用一个多服务器损失制排队模型M/G/xi/xi来描述顾客请求租用的过程。根据PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) 性质[23], 拒绝概率Pr等于Erlang损失公式B (x, a) [24,25]。

其中整个系统的负担为a=λS。这样, 服务约束就可以写为:

2.3 考虑服务约束的设计优化模型

整个仓库可看成由n个独立的M/G/xi/xi多服务器损失系统组成。从长期来看, 仓库总收益为, 其中Li是指在其中一个排队系统里的长期平均客户数。为了计算长期总收益, 我们引入李特法则 (Little’s law) 的应用[23]:

在一个到达率为λ和服务器数为x的G/G/x/x损失系统里, 客户支付租金r給服务器, 长期的平均收益表示为:

其中L是系统的长期客户平均数, S为期望平均服务时间, Pr是拒绝概率。

注意到对于所有a>0都有B (0, a) =1[24,25], 因此, 由式 (1) 和 (3) , 存储类型i的长期平均收益可以进一步表达为:

于是, 考虑服务约束, 在仓库总面积为C的约束下, 以长期平均总收益最大化为目标, 构造基本模型如下:

不同类型存储单元的客户满意度可能是同质或异质的, 在本文中, 我们只考虑同质情况, 即σi=σ。

3 模型求解与分析

3.1 基本模型求解

首先, 我们采用动态优化算法来解决不考虑服务约束的基本问题, 决策变量为每一存储类型i (1≤i≤n) 的单元设计数目xi, 目标是使得整个仓库的长期平均总收益达到最大。设1≤k≤n且c∈Z+, 可行区域为, 设:

表示在可用整数面积c (c≤C) 的状态下, 从存储类型k, ..., n的所有单元中获得的最大长期平均总收益。我们采用动态优化的逆序求解算法来解决该基本决策问题:

当k=n时, 有:

设d (x, a) =a (1-B (x, a) ) , 函数d (x, a) 是x的一个单调增函数[26]。于是, 式 (7) 就可变为:

此处, 表示小于或等于z的最大整数, cn表示存储类型n的单元面积, 就表示可用整数面积c全部用来设计存储类型n的最大数目。

当k=n-1, ..., 1时, Fn-1 (c) , ..., F1 (c) 可由贝尔曼公式进行计算:

于是, 由式 (9) 进行迭代计算, 最后求得的F1 (C) 就是仓库的最大收益。通过反推, 就可以得到相应的最优决策x*= (x1*, x2*, ..., xn*) , 即每一存储类型的最优单元设计数目。

3.2 考虑服务约束求解

本文的重点是考虑服务约束。针对此问题, 基于以上动态优化算法的基本求解过程, 我们采用上限-下限逼近法求解。由于拒绝概率B (x, a) 是x的减函数, 在一定的服务质量水平下, 我们就可以找到每一类设计数目xi的下限minxi。例如:假设服务水平系数为σ*, 则下限为x*, 当且仅当B (x*, a) ≤σ*且B (x*-1, a) >σ*。利用计算机编程求解, 可以很快地找到满足服务约束的每一存储类型的下限设计数目。另外, 对于动态优化过程的每一阶段, 当剩余可用面积全部被用来设计处在该阶段的存储类型时, 就可以计算得到xi的上限maxxi。最优解必须在下限和上限之间 (动态搜索的可行域) 求得, 在此之外求得的解不满足服务约束, 为非可行解。

首先, 当k=n时, 根据服务系数找到设计下限minxn, 上限maxxn为。因此, 和式 (7) 一样:

当k=n-1, ..., 1时, 存储类型k的设计下限minxk同样可依据服务约束系数找到, 其设计上限maxxk可由如下公式计算:

其中, 为保证存储类型k+1, ..., n的所有下限设计数目的面积。因为在阶段k, 可用整数面积c不能全部被用来设计存储类型k, 必须留有足够面积设计存储类型k+1, ..., n以保证它们的服务约束。

于是, 由贝尔曼公式进行迭代计算:

一直计算到最后的F1 (C) , 就是满足特定服务约束条件下的的仓库最大收益。再通过反推, 就可以得到满足该约束条件下使得收益最大的每一类存储单元的最优设计数目。

我们对上述算法进行MATLAB编程求解, 对每一阶段k不满足约束条件的设计数目0≤xk<minxk设置一个足够大的负收益, 这样, 在进行动态寻优的过程中, 就避免了选择不满足服务约束的非可行解。同时, 我们还可以通过观察下限和上限的值来判断所设置的服务约束系数是否合理, 只有当minxk≤maxxk时, 所求结果才正确。

3.3 模型分析

在本小节, 我们主要对服务约束进行分析, 探讨其本身的一些特性以及和最优收益之间的关系。服务约束在本文的模型中是通过设置服务水平系数来起作用的, 该系数是允许的拒绝概率的上限。仓库管理者既想保证服务质量又不想损失太多收益, 如何设定服务水平系数就显得至关重要。下面, 我们就来分析如何选择合适的服务系数。

首先, 我们知道拒绝概率B (x, a) 是x的减函数, 因此, 服务约束B (x, a) ≤σ等价于:

因此, 对任意σ∈ (0, 1) 都有一个对应最小的x满足式 (13) 。所以, 在本文的问题中, 对于同质服务系数, 每一类存储单元设计数目都有其下限, 即:

但是, 第三方仓库的总面积是有限的, 当我们设定的服务系数所对应的各存储单元设计数目所需总面积大于实际面积时, 就说明服务系数不合理。服务系数越小, 允许的拒绝概率就越小, 对应的存储单元设计数目下限就越大, 那么, 需求总面积就越有可能超过实际总面积。因此, 在一定的仓库面积约束下, 服务系数的设定就有一个下限σmin, 它应当满足:

理论上, 服务系数只要大于它的下限, 就是可行的。但是, 服务系数如果太大, 就起不到保证服务质量的作用。按常理来说, 考虑服务约束势必会使得最优收益比无约束时最优收益要小。在可行范围内, 服务系数越大, 允许的拒绝概率越大, 就越趋近无约束状态, 理论计算的最优收益也就越高, 但这是以损失服务质量为代价的。这一结论也可以从3.2节中考虑服务约束的动态优化过程证明得到。我们让服务系数逐步变大, 那么它对应的设计数目下限minxk就逐渐变小, 由式 (11) 可知, 设计数目的上限maxxk就逐渐变大。所以, 动态寻优的求解范围就逐渐变大, 以至于到某个临界值时, 和无服务约束的动态优化寻优范围无差别。在这个过程中, 最优收益也逐渐变大, 最终达到和无约束状态时的最优值一样。如果服务系数继续变大, 最优收益则会保持不变。因此, 该临界值σmax就是服务系数有效的上限。决策者应当在有效范围[σmin, σmax]内考虑制定服务系数。

4 数值实验

在本节中, 我们对第三方仓库的设计方法进行数值性分析实验, 观察服务水平约束的影响。必须强调的是, 本文提出的方法适用于高需求环境并且当存储单元被占满时顾客会被拒绝的情况。因此, 在收益最大化的目标下考虑服务质量水平, 就有现实意义。通过设置不同的服务约束系数来观察目标最优收益和设计的变化, 从中探寻服务约束的影响。在此, 为了使实验结果更有说服力, 我们选用了真实的数据。

4.1 基本实验

一些城市繁华商业地带的自存储仓库处于高需求的环境下。在这种情况下, 管理人员往往会施行顾客拒绝方案:当顾客请求某一存储类型, 而该类型存储单元都被占用时, 该顾客就会被拒绝, 从而选择离开。例如, 在美国芝加哥汉考克中心附近的一个Public Storage自存储仓库中, 顾客每月对其小面积存储单元的平均需求就要高于它实际拥有量。因此, 当小面积存储单元都被占满时, 剩下的请求该类型的顾客就会被拒绝。

不考虑服务水平约束及假设服务系数σ=10%的情况下, 本文根据该仓库2008年夏季的数据[10], 包括价格、设计数目、需求数据 (每月平均需求和单位平均存储时间) , 将允许拒绝顾客的基本模型运用到该仓库上, 且运用动态优化的算法, 得到的结果如表4-1所示。

表4-1公共存储仓库设计实例 

注:芝加哥仓库的C=29500ft2, A (B) 是指平均每月需求 (单位平均存储时间) 。

从表4-1中可以看到, 在本研究的基本模型下, 无约束的新设计使该仓库的月平均总收益提高了14.5%, 服务系数为10%的新设计也使收益提高了14.2%。

4.2 服务系数灵敏度分析

考虑服务水平约束的作用, 我们依然采用以上芝加哥仓库的实际数据。在基本模型的应用上考虑服务质量水平约束的影响, 这也是本文最主要的创新点。服务水平约束系数是反映服务质量优劣的重要测度, 该值越大, 表明允许的拒绝概率越大, 则服务水平越低;该值越小, 表明允许的拒绝概率越小, 服务水平越高。在这里, 我们人为地设置不同的服务水平系数, 来观察不同服务水平约束下, 仓库最优收益和最优设计的变化, 并分析其变化规律。

首先, 我们以递增的方式来设置服务系数σ, 从σ=1%开始, 步长为1%。数据实验显示服务系数小于8%时, 至少会有一类存储单元不满足服务约束, 下限大于上限, 设计数目为0, 这显然是不满足服务约束水平的, 因为拒绝概率B (0, a) =1, 表示永远拒绝。这也应证了模型分析的结果, 在仓库总面积的约束下, 为了满足某一约束条件, 每一类仓库都必须有一个下限设计数目。因此, 也必须对应着一个下限约束系数σmin。为了找到该系数的下限值, 让σ=7%开始, 步长为0.1%, 到σ=8%为止, 数据实验结果如表4-2所示:

从表4-2可以看出, 芝加哥仓库的下限服务系数σmin=7.5%。也就是说, 管理者考虑设置服务系数时, 要让它大于7.5%才合理。如果过于苛刻, 设置了更小的服务系数, 则总不能让所有的存储类型满足约束要求。

本文所考虑的服务约束是以拒绝概率来衡量的, 约束系数表示允许的拒绝概率的上限。如果约束系数越大, 则允许的拒绝概率越大, 服务质量越低。接着, 我们观察服务系数在可行的范围内变化时, 最优设计和收益如何变化。表4-3显示了服务系数σ从8%到30%以步长为1%变化时的最优设计和收益结果。

从表4-3中可以观察到, 在可行范围内, 最优收益和服务系数间大致是存在正向关系的。设置的服务约束系数越大, 最优收益越大。这是符合常情的, 因为服务系数越大, 则允许的拒绝概率越大, 表明动态寻优过程的约束越小, 所以最优收益越趋于无约束条件时的最优值。实验时, 我们发现当服务系数在27%以上时, 最优收益和无服务约束时的最优收益一样, 都为48233。为了得到更精确的值, 我们再观察σ在26%~27%之间以步长0.1%变化时的数值实验结果, 如表4-4所示。

表4-2服务系数下限分析σ=7%~8%  

表4-3服务系数上限分析σ=8%~30% 

表4-4服务系数上限精确分析σ=26%~27% 

从上表我们可以看出, 当σ≥26.5%时, 服务约束就不起作用了, 最优收益都为48233, 这和无服务约束时的最优值相等。因此, 7.5%≤σ≤26.5%是服务约束起作用的范围, 在此范围内, 约束系数越大, 最优收益越大。服务水平系数σ一定不能小于7.5%, 因为在这种情况下, 永远也找不到一个可行解, 让每一类的设计数目都达到服务水平;若σ大于26.5%, 服务约束不起作用, 便无意义。

5 结语

本文解决了高需求背景下考虑服务约束的第三方仓库设计优化问题, 首先以排队论的基本理论知识为根基, 用Erlang损失模型来描述顾客需求, 构造基本模型。然后, 考虑服务质量问题, 添加服务水平约束, 完善模型。接着, 采用动态优化算法来求解最优化问题。最后, 文章选取了芝加哥市中心的具有高需求特征的自存储仓库实例进行数据实验, 对存储单元进行了布局优化设计, 并且探讨分析了服务水平系数的性质及其对最优收益的影响, 为决策者找到了制定服务系数的可行范围和有效区间。

第三方仓库行业关心的是将收益最大化, 因此, 合理有效的设计就显得尤为重要。本文就在充分考虑市场细分的情况下, 将收益管理与设施设计相结合, 并且考虑服务质量, 探讨了服务水平系数对最优收益和设计的影响, 这些都非常具有开创意义和潜在价值。许多行业也是通过租用设施空间给不同的客户, 从中获取收益。如, 酒店管理领域、停车场服务业, 以及各种租赁行业等。它们也面临着同样的问题, 即根据不同类型顾客的随机需求, 如何最有效地分配空间, 又能充分体现服务质量, 使得收益最大化。因此, 本文的研究也可以应用到这些行业中来, 尤其是酒店管理领域。在酒店设计问题上, 基于市场需求数据, 运营者就可以借鉴本文提出的方法来确定建造哪种类型的客房, 并确定每种类型客房的数目。而且, 酒店行业的服务水平和本文研究的问题也十分相似, 顾客在酒店客房住满之后也会被拒绝。因此, 本文的研究在酒店问题上适用性非常强。

总之, 本文的研究显著地提高了第三方仓库的期望收益, 并且为决策者制定服务标准提供了直观又科学的依据, 同时还可以对其他相似领域产生积极的作用, 具有一定的应用前景。