0 引言

随着供应链管理的深入发展,第三方物流变得日益重要[1]。与企业私有物流不同的是,第三方物流的资源(如仓储资源)本身就是“商品”,通过资源共享、规模经济、专业运营等,可以提供更加快捷高效和低成本的物流服务[2];同时,第三方物流资源具有“易逝性”,未能及时售出将导致机会损失[3];由于面向外部市场,第三方物流资源的需求比内部物流需求具有更大的不确定性。例如,在航空服务中一般有两类典型顾客:一类是为获得更高折扣而提前预定的价格敏感型顾客;另一类是时间敏感型顾客,只在需要服务时提出请求(往往预订服务的提前期非常短),如果服务能够得到满足,可以承担更高的费用[4]。在资源有限条件下,分配过多资源给价格敏感型顾客,可能导致无法更多地服务时间敏感型顾客而减少收益;然而为时间敏感型顾客预留过多资源,也可能因为其需求的不确定性带来更多的机会损失[5]。因此,如何有效设计运营能力并合理分配资源,成了第三方物流企业赢得竞争优势的关键[3]。

研究表明,对于易逝性资源在多类顾客之间的分配问题,基于收益管理的方法较传统的基于成本的方法更为有效[6],但以往研究和应用主要集中在航空运力分配问题上。例如,Mantin和Koo运用收益管理方法,对影响航空市场动态定价的因素进行了分析[7];Han等学者采用马尔科夫决策模型研究了一类航空货运的收益管理问题[8];葛焰明考虑地区因素影响,建立随机动态规划模型,研究一个单阶段航班的收益管理问题[9];王晓立和马士华提出一种补偿契约,解决航空货运市场的运力分配与定价问题[10]。鉴于仓储业务外包的迅猛发展,第三方仓储(Third-party Warehousing, 3PW)的收益管理问题正不断引起理论者和实践者的关注:Lin提出一个随机动态规划模型对3PW的分配策略进行分析,研究结果表明,期望收益是剩余仓储能力和订货提前期的凹函数,但机会成本则是非增函数[11];Chew等同时考虑易逝性产品的仓储分配和定价问题,设计了一个离散时间动态规划模型求解两周期条件下的最优价格和库存分配策略,并进一步提出三种启发式算法解决多周期问题[12];林昶等基于收益管理的思想,对随机市场需求条件下的仓储能力配置问题进行研究,构建了随机规划模型,运用稳健优化技术转换为线性规划问题加以求解[13,14]。

上述研究无疑为相关领域的研究提供了重要参考,但一方面目前对3PW仓储能力设计和资源分配问题的研究成果还比较欠缺;另一方面,有关研究主要采用动态规划方法建立系统模型,当现实问题规模增长时,将面临“维数灾难”的制约。本文借鉴收益管理思想对顾客进行分类,考虑需求的不确定性,采用离散事件仿真构建模型,刻画系统的随机性和动态性,并对仓储资源分配策略进行评估;将仿真与统计实验方法(响应曲面法)相集成,对3PW的仓储能力设计和资源分配决策进行优化,从而探寻一种新的分析求解框架。本文后续内容组织如下:第1部分提出问题的解析模型并进行理论分析;第2部分阐述仿真模型的构建与实现;第3部分设计响应曲面法与仿真相集成;第4部分进行仿真实验分析;第5部分对论文进行总结。

1 数学模型与分析

为便于对问题进行数学描述与分析,定义如下变量:

k为顾客(订单)类型,1≤k≤K,其中K是根据收益管理思想细分的顾客类别数;Rk为分配给第k类顾客的仓储资源的单位收益;Csk为分配给第k类顾客的仓储资源的单位成本,包括固定成本和运作成本;Clk为第k类顾客的单位损失成本(机会成本);Dk为第k类顾客的需求(随机变量),假设其分布函数为F(Dk),即Dk～F(Dk)或Dk～f(Dk),其中f(Dk)为Dk的概率密度函数,则有F′(Dk)=f(Dk);Xk为计划期内分配给第k类顾客的仓储空间;πk(D,X)为第k类顾客的收益函数;Q为总仓储能力。

则第三方仓储资源分配问题的数学规划模型可表述如下:

max∑Kk=1E(πk)$\underset{k=1}{{\displaystyle {\displaystyle \sum }^{{\rm K}}}}E(\pi {}_k)$

s.t.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∑Kk=1Xk≤QXK≥0$\text{s}.\text{t}.\{\begin{array}{l}\underset{k=1}{{\displaystyle {\displaystyle \sum }^{{\rm K}}}}X{}_k\le Q\\ X{}_{{\rm K}}\ge 0\end{array}$

当存在需求损失,即Xk≤Dk时,有πk=πk′=(Rk-Csk)Xk-Clk(Dk-Xk);当仓储空间大于市场需求,即Xk>Dk时,πk=πk″=RkDk-CskXk。由于Dk～f(Dk),则期望收益可表示为:

E(πk)=∫Xk0πk″f(Dk)dDk+∫∞Xkπk′f(Dk)dDk=Rk∫Xk0Dkf(Dk)dDk-Csk∫Xk0Xkf(Dk)dDk+(Rk-Csk+Clk)∫∞XkXkf(Dk)dDk-Clk∫∞XkDkf(Dk)dDk (1)

为最大化期望收益,(1)式对Xk求导得:

d(E(πk))dXk=RkddXk(∫Xk0Dkf(Dk)dDk)−CskddXk(∫Xk0Xkf(Dk)dDK)+(Rk−Csk+Clk)ddXk(∫∞XkXkf(Dk)dDk)−ClkddXk(∫∞XkDkf(Dk)dDk)   (2)$\begin{array}{l}\frac{d(E(\pi {}_k))}{\text{d}X{}_k}=R{}_k\frac{d}{\text{d}X{}_k}({\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}D}{}_{k}f(D{}_k)\text{d}D{}_k)-C{}_{sk}\frac{d}{\text{d}X{}_k}({\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}X}{}_{k}f(D{}_k)\text{d}D{}_{{\rm K}})\\ +(R{}_k-C{}_{sk}+C{}_{lk})\frac{d}{\text{d}X{}_k}({\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }X}{}_{k}f(D{}_k)\text{d}D{}_k)-C{}_{lk}\frac{d}{\text{d}X{}_k}({\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }D}{}_{k}f(D{}_k)\text{d}D{}_k)(2)\end{array}$

对公式(2)运用Leibniz规则有[15]:

d(E(πk))dXk=RkXkf(Xk)−Csk∫Xk0f(Dk)dDk−CskXkf(Xk)+(Rk−Csk+Clk)∫∞Xkf(Dk)dDK −(Rk−Csk+Clk)Xkf(Xk)+ClkXkf(Xk)=Rk∫∞Xkf(Dk)dDk−Csk∫Xk0f(Dk)dDk−Csk∫∞Xkf(Dk)dDk+Clk∫∞Xkf(Dk)dDk=(Rk+Clk)∫∞Xkf(Dk)dDk−Csk(∫Xk0f(Dk)dDk+∫∞Xkf(Dk)dDk)=(Rk+Clk)∫∞Xkf(Dk)dDk−Csk(∫∞0f(Dk)dDk=(Rk+Clk)(∫∞0f(Dk)dDk−∫Xk0f(Dk)dDk)−Csk∫∞0f(Dk)dDk   (3)$\begin{array}{l}\frac{d(E(\pi {}_k))}{\text{d}X{}_k}=R{}_{k}X{}_{k}f(X{}_k)-C{}_{sk}{\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-C{}_{sk}X{}_{k}f(X{}_k)+(R{}_k-C{}_{sk}+C{}_{lk}){\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_{{\rm K}}\\ -(R{}_k-C{}_{sk}+C{}_{lk})X{}_{k}f(X{}_k)+C{}_{lk}X{}_{k}f(X{}_k)\\ =R{}_k{\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-C{}_{sk}{\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-C{}_{sk}{\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k+C{}_{lk}{\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k\\ =(R{}_k+C{}_{lk}){\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-C{}_{sk}({\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}f}(D{}_k)\text{d}D{}_k+{\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k)\\ =(R{}_k+C{}_{lk}){\displaystyle {\int }_{X{}_k}^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-C{}_{sk}({\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k\\ =(R{}_k+C{}_{lk})({\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k-{\displaystyle {\int }_0^{X{}_k}f}(D{}_k)\text{d}D{}_k)-C{}_{sk}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f}(D{}_k)\text{d}D{}_k(3)\end{array}$

因为∫∞0f(Dk)dDk=F(∞)=1并且∫Xk0${}_0^{X{}_k}$f(Dk)dDk=P(Dk≤Xk)=F(Xk),所以有:

d(E(πk))dXk=(Rk+Clk)(1−F(Xk))−Csk$\frac{d(E(\pi {}_k))}{\text{d}X{}_k}=(R{}_k+C{}_{lk})(1-F(X{}_k))-C{}_{sk}$ (4)

令上式等于0,即(Rk+Clk)(1-F(Xk))-Csk=0,得到Xk的最优值(X*k)和其它系统参数的关系:

F(X∗k)=1−CskRk+Clk$F(X{}_k^{*})=1-\frac{C{}_{sk}}{R{}_k+C{}_{lk}}$ (5)

由于F(X)是X的非减函数,因此Csk增大将导致X*k减小,Rk和Clk增大将导致X*k增大。期望收益E(πk)对Xk求二阶导数可得:

d2(E(πk))dX2k=−(Rk+Clk)f(Xk)≤0$\frac{d{}^2(E(\pi {}_k))}{\text{d}X{}_k^2}=-(R{}_k+C{}_{lk})f(X{}_k)\le 0$ (6)

从(6)式可以看出,期望收益E(πk)是Xk的凸函数,这就证明了X*k的存在。如果分布函数F(X)已知,则X*k就可通过公式(5)确定。然而,市场需求Dk是随机变量,分布函数F(X)往往难于确定,所以要对该3PW的资源分配问题解析求解异常困难。下面将通过仿真优化的手段进行建模与分析。

2 仿真建模

2.1概念模型

图1 仿真流程图 

在3PW资源分配问题的仿真建模过程中,最主要的实体是不同类别的顾客订单。一个顾客订单就是对仓储资源的一个请求,即特定时间段(服务期)中对仓储资源的需求量(订单大小)。参考文献[4],主要考虑价格敏感型(a类)和时间敏感型(b类)两类顾客。图1所示为仿真流程图,实体(订单)进入仿真系统首先被赋予相关的属性值,如订单大小、提前期、服务期等;然后判断该订单是否可被满足(是否有足够的仓储资源提供服务);如果订单无法满足,则记录损失信息(如机会成本)后实体离开仿真系统;如果订单可被满足,对于b类实体则可直接进入“分配资源→服务→释放资源”等流程,对于a类实体则先要等待一个提前期;在服务完成的实体离开系统之前,还需记录有关绩效指标(如收益)。

图1中判断订单能否被满足是一个关键的仿真逻辑,为便于说明,定义如下符号(见图2):t0i为第i个订单的到达时间;Tli为第i个订单的提前期;Tsi为第i个订单的服务期;t1i为第i个订单的服务开始时间,则有t1i=t0i+Tli;t2i为第i个订单的服务结束时间,则t2i=t1i+Tsi;wi为第i个订单需要的仓储空间(订单大小);Sq表示已经进入仿真系统并等待服务的订单队列。在确定新到订单(假设为i)是否可被满足时,有三个因素需要考虑:(1)分配的仓储能力;(2)订单大小;(3)订单i与Sq中其它订单的关系。

假设j是Sq中的任一订单,当i和j的服务期有重叠时,则j会对i的资源分配决策造成影响(如图2所示),这一条件可以表达为“t1i<t2jandt2i>t1j”,这意味着当i开始服务时,j还没有完成服务;或者当j开始服务时,i还没有完成服务。通过这个条件,可以计算出当i开始服务时,已有多少仓储资源分配给了其它先到达的订单,并由此进一步确定订单i是否可被满足。这一仿真逻辑的伪码如图3所示(对a类订单),其中Qa为分配给a类订单的仓储空间;Qa′是一个变量,用于计算服务期与i有重叠的所有先到订单总大小。当一个订单被接受时,把它加入队列Sq;当其完成服务时,则把它从队列Sq中删除。

图2 订单i和j的服务期重叠  

图3 判断a类订单能否满足的伪码  

对于b类订单,由于Tli=0,因此判断规则更为简单:仿真开始时设置变量Qb′=0,如果Qb-Qb′≥wi则接受订单i,否则拒绝订单i。Qb和Qb′的含义与a类订单相似,只是Qb′的更新机制略有不同:当一个b类订单i被接受时,令Qb′=Qb′+wi;当其完成服务时,令Qb′=Qb′-wi。

2.2仿真输入

仿真模型的输入主要有订单到达间隔时间、订单大小、提前期、服务期等,这些都是随机变量,用于刻画市场需求的不确定性。此外还包括相关的系统参数,如Rk、Csk、Clk等。仿真输入参数值可以通过对实际系统进行抽样估计得到,也可来源于经验数据。

2.3仿真输出

仿真模型的输出主要包括以下几个方面:(1)资金类指标,如收益和成本;(2)仓储资源的利用率;(3)服务水平,用订单损失率表示,可用订单数来衡量(损失的订单数除于到达的总订单数),也可用订单量来衡量(损失的总订单大小除于到达的总订单大小)。

2.4仿真模型的实现

为实现上述概念模型,本文使用美国Rockwell公司开发的通用仿真平台ARENA,它具有丰富的建模与分析能力,在学术界和实践界得到了广泛应用[16]。图4所示为该仓储资源分配问题的ARENA仿真模型,其中的VBA模块就是用于判断a类订单是否可被满足(实现图3的仿真逻辑)。

图4 第三方仓储资源分配问题的ARENA仿真模型  

3 响应曲面法及其与仿真的集成

响应曲面法(Response Surface Methodology, RSM)是一种统计实验优化技术,通过实验设计来优化变量之间的响应(目标函数)[17]。图5所示为RSM与仿真的集成框架图,仿真用于构建复杂系统模型并求取系统绩效指标,RSM则根据系统绩效指标拟合响应曲面(目标函数)并搜索(近似)最优解。当二阶响应无法对当前最优解作改进时,算法终止。

图5 响应曲面法与仿真的集成框架  

4 案例研究与仿真实验

主要考虑两种仓储资源分配策略:(1)仓储能力不作划分,只要有订单到达(不管订单类别,即先到先服务),如果仓储能力够则接受订单,否则订单流失;(2)针对不同类别的顾客划分仓储能力,即把总仓储能力分为Qa与Qb两个部分,引入资源分配系数α=Qa/Q,则Qa=αQ,Qb=(1-α)Q。a类(b类)订单在服务期需要的仓储空间总量超过Qa(Qb)将造成订单损失。一方面,通过仿真实验比较不同策略下的系统绩效;另一方面,调整决策参数(Q和α),探寻系统绩效的变化规律,进而给仓储资源分配决策提供科学依据。

本文以第三方物流企业Reel Time Logistics(Indiana, USA)为实证对象,以其当前决策(总仓储能力Q=3000m3,仓储能力不作划分)为评价基准(benchmark)。仿真实验过程如下:首先通过调研获得实际数据,然后进行仿真输入分析得到有关系统参数;其次,构建benchmark的仿真模型,进行仿真试验,获得仿真次数和仿真长度等有关仿真实验参数,以及benchmark的绩效指标;再次,构建仓储能力划分策略下的仿真模型,保持系统参数和仿真实验参数不变,通过仿真运行获取决策参数(Q和α)与系统绩效之间的关系;最后,采用RSM算法与仿真模型集成,探寻Q和α的最优取值,以及系统的最优绩效,并与benchmark进行对比研究。

表1所示为案例的有关输入参数。表2所示为benchmark的仿真实验结果,其中Y为系统总收益,Ya为a类订单总收益,Yb为b类订单总收益,Y=Ya+Yb;订单损失率用订单数衡量。由表2可以看出,b类订单损失率较高,究其原因,主要有两个方面:(1)总的仓储能力不足;(2)由于a类订单具有一定提前期,在不划分仓储能力的策略下,大部分仓储资源都分配给了a类订单(a类订单损失率较低)。在对benchmark的实验中,每次仿真运行(simulation running)包含20次独立重复仿真试验(replications),每次试验长度是365天(一年)。和总收益均值(Y=$882979.53)相比,其95%置信区间半长(=$26284.13)相对较短(约为总收益均值Y的2.98%),精度较高。因此,后续仿真实验都使用同样的仿真参数(20次replications,每次长度365天)。

表1案例的输入参数  

注:EXPO表示指数分布,UNIF表示均匀分布,TRIA表示三角分布。

表2案例基准的仿真实验结果  

图6给出了仓储能力划分策略下,资源分配系数的变化对总收益的影响,可以看出,即使总仓储能力不变(Q=3000m3),通过调整资源分配系数,也可改善系统绩效(Ymax=$1252267.63远大于基准值$882979.53),这说明仓储能力划分策略较先到先服务策略更优;随着α的增大,Qa上升,Qb下降,因此,在仓储能力不足的条件下,Ya将上升,Yb将下降,但存在一个最优取值点,这与理论分析相符。图7显示了总仓储能力对总收益的影响:当Q由低向高增加时,系统收益先增后减,因为资源不足将导致订单损失,而资源过剩则带来高额的资源成本。图6和图7均表明:(1)α和Q对系统绩效有显著影响;(2)α和Q取值过高或过低,都将导致系统绩效下降。图8是通过仿真实验模拟出的总收益近似曲面及其等高线图,可以看出Y是α和Q的多峰函数(上凸),且在最优值附近比较平坦。图9和图10显示了α和Q对订单损失率的影响,这和实际情况是一致的:分配的仓储资源越多,订单损失率越小。图9中随着α的增加,分配给a类订单的资源量增加,分配给b类订单的资源量减小,因此,a类订单的损失率递减,b类订单的损失率递增;而图10随着总仓储能力的上升,两类订单的损失率都将逐渐下降。图11和图12给出了α和Q对资源利用率的影响:随着分配的仓储资源增加,利用率有下降的趋势,但图11由于总仓储能力不足和需求的随机性,导致资源利用率有所波动。

为了探寻α和Q的最佳组合,以最大化系统总收益,采用图5所示框架设计了RSM程序(以基准点(Q,α)=(3000,0.5)作为初始解,α和Q为决策变量,Y为系统响应)与上述仿真模型相集成。图13显示了RSM的寻优过程:先采用一阶线性拟合,并以较大步长探寻优化方向;接近最优点时,采用二阶曲线拟合及较小步长,以收敛到最(近)优点。表3给出了RSM得到的系统最优结果:相对于benchmark,总收益提高了104.15%($919606.78),同时a类和b类订单的损失率分别下降了4.47和47.03个百分点,但资源利用率减小了20.1%。

图6 资源分配系数对总收益的影响   

图7 总仓储能力对总收益的影响   

图8 总收益(Y)的近似曲面和等高线  

图9 资源分配系数对订单损失率的影响   

图1 0 总仓储能力对订单损失率的影响   

图1 1 资源分配系数对资源利用率的影响   

图1 2 总仓储能力对资源利用率的影响   

图1 3 RSM寻优曲线   

表3RSM优化结果  

5 结论

本文基于收益管理思想,研究了随机市场需求条件下,第三方仓储资源的分配问题。首先建立数学规划模型分析系统主要参数与最优解的关系;然后构建系统仿真模型,通过案例研究和仿真实验,不仅展示了决策参数对系统绩效的影响,而且发现根据不同顾客类别划分仓储能力,能够有效提高系统绩效;最后设计了一种响应曲面法与仿真结合搜索问题满意解。本文的贡献在于,一方面丰富了第三方仓储资源规划和分配问题的研究,另一方面提出一个仿真与RSM的集成框架以克服现有方法的“维数灾难”,对存在随机因素的管理优化问题具有较好的借鉴意义。后续研究包括:与现代启发式算法(如遗传算法)集成,提升优化性能;扩展现有仓储资源分配模型,将定价决策纳入进来(确定不同顾客类别的价格策略),提高模型应用价值。